素朴な計算機の完成: 論理回路入門 5 - コンピュータフリーク

この章では、前章で作った全加算器を組み合わせ、複数桁の足し算ができる計算機を完成させます。

全加算器の連結

複数桁の足し算を行う回路を考えます。とりあえず二進数 4 桁の足し算を考えましょう。より多くの桁には簡単に拡張できます。

入力の各数が 4 桁なので、入力端子は 8 個です。入力された数を \(A, B\) と表し、対応する端子を \(A_1, A_2, A_3, A_4\) および \(B_1, B_2, B_3, B_4\) と表します。出力は繰り上がりまで考慮すると 5 桁になるかもしれないので、出力端子は 5 個とします。出力する数を \(C\) と表し、対応する端子を \(C_1, C_2, C_3, C_4, C_5\) と表します。

例えば、\(A = 5, B = 7\) の場合を考えましょう。二進数で表すと \(5\) は \(0101\)、\(7\) は \(0111\) なので、論理回路には \(A_1 = 1, A_2 = 0, A_3 = 1, A_4 = 0, B_1 = 1, B_2 = 1, B_3 = 1, B_4 = 1\) を入力することになります。出力は \(C = A + B = 5 + 7 = 12\) で、\(12\) は二進数で表すと \(01100\) なので、\(C_1 = 0, C_2 = 0, C_3 = 1, C_4 = 1, C_5 = 0\) が出力されるようにします。

入力端子が \(8\) 個もあると真理値表は \(256\) 行にもなるのでとても書いていられません。パターンは膨大ですが、これまで作ってきた半加算器や全加算器を組み合わせると簡単に実装することができます。

4 桁の足し算の 1 桁目の答え \(C_1\) は単に入力の 1 桁目 \(A_1\) と \(B_1\) を足し合わせるだけです。これは半加算器で実現できます。

2 桁目の出力 \(C_2\) は、2 桁目からの繰り上がりと、各入力の 2 桁目 \(A_2\) と \(B_2\) を足し合わせることで求められます。これは全加算器で実現できます。

3 桁目、4 桁目の出力も同様に前の桁からの繰り上がりと、各入力の対応する桁を足し合わせると求められるので、全加算器で実現できます。

5 桁目の出力は 4 桁目からの繰り上がりそのままです。

よって、4 桁の足し算を行う回路は以下のように表せます。

8 桁やもっと大きな桁の場合も連結する全加算器の数を増やすだけで実現できます。

抽象化

今後、この加算器を使い回すために抽象化しておきましょう。\(n\) 桁の加算器 (adder) は Add\(n\) と書いた四角形で表すことにします。例えば 4 桁であれば Add4 と表します。
また、桁数が多くなってくると配線をたくさん書くのが面倒です。同じ機能をになっているひとまとまりの配線は、一本一本書くのではなく、太い線一本で表すことにしましょう。例えば、以下のように略記します。

太い線というパーツがあるのではなく、あくまで複数の配線の略記法であることに注意してください。

太い線が何本の線のまとまりであるかを表しているかは文脈次第です。Add4 に入っていたら 4 本なんだというように推測してください。また、どのように太い線をまとめるかも文脈依存です。例えば Add4 に入力される 2 数全部まとめて 8 つの配線を太線で表すことも理論上はできますが、通常はそのようなことはせず、4 桁ずつの太い線 2 本で表します。慣れないうちはややこしいですが慣れると便利な記法なので慣れていきましょう。